Schiefe in der Statistik

Die Schiefe misst in Statistik die Asymmetrie der Verteilung von Daten innerhalb einer Zufallsvariablen. Bei positiver Schiefe sind die Daten mehr nach rechts geneigt, während eine negative Schiefe eine Neigung nach links aufzeigt. Eine Schiefe von Null zeigt an, dass die Daten relativ symmetrisch sind.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Schiefe nicht immer eindeutig ist, da in bestimmten Fällen die Asymmetrie aufgrund der Beschaffenheit der Datenverteilung variieren kann.

Bei einer unimodalen Verteilung bedeutet eine negative Schiefe in der Regel, dass sich der Schwanz auf der linken Seite der Verteilung befindet, und eine positive Schiefe, dass sich der Schwanz auf der rechten Seite befindet. In Fällen, in denen ein Schwanz lang und der andere dick ist, folgt die Schiefe keiner einfachen Regel. Ein Wert von Null bedeutet beispielsweise, dass sich die Schweife auf beiden Seiten des Mittelwerts insgesamt ausgleichen; dies ist bei einer symmetrischen Verteilung der Fall, kann aber auch bei einer asymmetrischen Verteilung zutreffen, bei der ein Schweif lang und dünn und der andere kurz, aber dick ist.

Betrachten Sie die beiden Verteilungen in der Abbildung. In jedem Diagramm fallen die Werte auf der rechten Seite der Verteilung anders ab als die Werte auf der linken Seite. Diese fallenden Seiten werden als Schiefe bezeichnet und bieten ein visuelles Mittel, um zu bestimmen, welche der beiden Arten von Schiefe eine Verteilung aufweist:

  • Negative Schiefe: Der linke Schwanz ist länger; die Masse der Verteilung ist auf der rechten Seite der Abbildung konzentriert. Man spricht von einer linksschiefen Verteilung, obwohl die Kurve selbst schief oder nach rechts geneigt zu sein scheint; links bezieht sich stattdessen darauf, dass der linke Schwanz herausgezogen ist und der Mittelwert oft links von einer typischen Mitte der Daten schief ist. Eine linksschiefe Verteilung erscheint in der Regel als eine nach rechts geneigte Kurve.
  • positive Schiefe: Der rechte Schwanz ist länger; die Masse der Verteilung ist auf der linken Seite der Abbildung konzentriert. Die Verteilung wird als rechtsschief, rechtsspitz oder rechtsschief bezeichnet, obwohl die Kurve selbst schief oder nach links geneigt zu sein scheint; rechts bezieht sich stattdessen darauf, dass der rechte Schwanz herausgezogen ist und der Mittelwert oft rechts von einer typischen Mitte der Daten schief ist. Eine rechtsschiefe Verteilung erscheint normalerweise als eine nach links geneigte Kurve.

Die Schiefe einer Datenreihe kann manchmal nicht nur grafisch, sondern auch durch einfache Betrachtung der Werte festgestellt werden. Nehmen wir zum Beispiel die Zahlenfolge (49, 50, 51), deren Werte gleichmäßig um einen Zentralwert von 50 verteilt sind. Wir können diese Folge in eine negativ verzerrte Verteilung umwandeln, indem wir einen Wert weit unter dem Mittelwert hinzufügen, der wahrscheinlich ein negativer Ausreißer ist, z. B. (40, 49, 50, 51). Der Mittelwert der Folge ist dann 47,5 und der Median 49,5, und nach der Formel für die nichtparametrische Schiefe, definiert als as , ist die Schiefe negativ. In ähnlicher Weise kann die Serie positiv schief sein, indem ein Wert weit über dem Mittelwert hinzugefügt wird, der wahrscheinlich ein positiver Ausreißer ist, z. B. (49, 50, 51, 60), wo der Mittelwert 52,5 und der Median 50,5 ist.

Wie bereits erwähnt, bedeutet eine unimodale Verteilung mit einem Wert von Null für die Schiefe nicht notwendigerweise, dass die Verteilung symmetrisch ist. Eine symmetrische unimodale oder multimodale Verteilung hat jedoch immer eine Schiefe von Null.

Schiefe- und Kurtosis-Rechner

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Anwendungen

Die Schiefe ist eine deskriptive Statistik, die in Verbindung mit dem Histogramm und dem Normalquantilsdiagramm zur Charakterisierung von Daten oder Verteilungen verwendet werden kann.

Die Schiefe gibt die Richtung und das relative Ausmaß der Abweichung einer Verteilung von der Normalverteilung an.

Im Falle einer ausgeprägten Schiefe sind statistische Standardfolgerungen, wie z. B. ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert, nicht nur in dem Sinne falsch, dass der tatsächliche Abdeckungsgrad vom nominalen Niveau (z. B. 95 %) abweicht, sondern sie führen auch zu ungleichen Fehlerwahrscheinlichkeiten auf beiden Seiten.

Die Schiefe kann genutzt werden, um mit Hilfe der Cornish-Fisher-Erweiterung approximative Wahrscheinlichkeiten und Quantile von Verteilungen zu erhalten.

Viele Modelle gehen von einer Normalverteilung aus, d. h. die Daten sind symmetrisch um den Mittelwert. Die Normalverteilung hat eine Schiefe von Null. In der Realität können die Datenpunkte jedoch nicht vollkommen symmetrisch sein. Die Kenntnis der Schiefe des Datensatzes gibt daher Aufschluss darüber, ob die Abweichungen vom Mittelwert positiv oder negativ sein werden.

Der K-Quadrat-Test von D’Agostino ist ein Test auf Normalverteilung, der auf der Schiefe der Stichprobe und der Wölbung der Stichprobe basiert.

Interpretation der Schiefe

Um die Schiefe eines Datensatzes zu interpretieren, kann zunächst das Verteilungsdiagramm (auch Histogramm genannt) des Datensatzes betrachtet werden. Ein Histogramm ist ein Diagramm, das die Häufigkeit von Werten in einem Datensatz darstellt. Wenn die Verteilung symmetrisch ist, zeigt das Histogramm eine glockenförmige Kurve. Wenn die Verteilung jedoch schief ist, wird das Histogramm eine schiefe Kurve aufweisen, die in Richtung der Schiefe zeigt.

Sie können auch versuchen, die Schiefe zu quantifizieren, indem Sie den Mittelwert, den Median und den Modus des Datensatzes berechnen und vergleichen. Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel aller Werte im Datensatz und wird berechnet, indem alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte dividiert werden. Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte des Datensatzes liegt, wenn alle Werte geordnet sind. Der Modus ist der Wert, der im Datensatz am häufigsten vorkommt.

Wenn sich Mittelwert und Median stark unterscheiden, kann dies ein Hinweis auf eine Schiefe sein. Ist der Mittelwert größer als der Median, deutet dies auf eine positive Schiefe hin, ist der Mittelwert kleiner als der Median, deutet dies auf eine negative Schiefe hin. Der Modus kann ebenfalls als Hinweis dienen. Wenn der Modus weit vom Mittelwert und vom Median entfernt ist, kann dies ebenfalls auf eine Schiefe hindeuten.

Grenzen der Schiefe

Es gibt Grenzen für die Verwendung der Schiefe als Messgröße. Eine Einschränkung besteht darin, dass die Schiefe allein nicht ausreicht, um einen Datensatz vollständig zu interpretieren. Es ist immer ratsam, mehrere Statistiken zu berücksichtigen, um ein vollständiges Bild der Verteilung zu erhalten.

Eine weitere Einschränkung der Schiefe ist ihre Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern. Ein Ausreißer ist ein Wert, der sich deutlich von den anderen Werten im Datensatz unterscheidet. Wenn ein Datensatz Ausreißer enthält, kann dies die Schiefe verzerren und sie unzuverlässig machen.

Eine dritte Einschränkung der Schiefe ist, dass sie nicht robust gegenüber Änderungen in der Verteilung ist. Wenn sich die Verteilung eines Datensatzes ändert, kann sich auch die Schiefe ändern, wodurch sie an Aussagekraft verliert.

Trotz dieser Einschränkungen bleibt die Schiefe ein nützliches Instrument zur Messung und Interpretation der Symmetrie einer Verteilung. Es ist jedoch wichtig, dieses Konzept in Verbindung mit anderen Statistiken zu betrachten, um ein vollständiges Bild der Verteilung zu erhalten.

Warum ist es wichtig, die Schiefe zu verstehen?

Die Schiefe kann wichtig sein, um die Eigenschaften einer Stichprobe oder Population zu verstehen und um sicherzustellen, dass die verwendeten Analysemethoden geeignet sind. Eine rechtsschiefe Verteilung kann z. B. bedeuten, dass es einige Extremwerte gibt, die die Analyse beeinflussen könnten. In solchen Fällen können robustere Analysemethoden erforderlich sein, um die Ergebnisse zuverlässiger zu machen.

Welche Probleme können bei der Verwendung von parametrischen Tests durch Schiefe in Daten entstehen?

Bei der Verwendung von parametrischen Tests wie dem t-Test oder der ANOVA werden bestimmte Annahmen über die Verteilung der Daten gemacht. Wenn die Daten eine Schiefe aufweisen, kann dies die Annahmen beeinflussen und die Testergebnisse verfälschen. Beispielsweise kann eine Schiefe in den Daten die Annahme der Normalverteilung beeinträchtigen und somit die Verwendung des t-Tests unangemessen machen, was zu einer falschen Ablehnung der Nullhypothese führen kann. Daher ist es wichtig, die Schiefe der Daten zu berücksichtigen, bevor parametrische Tests durchgeführt werden.

Welche Methoden der Datentransformation können zur Behandlung von Schiefe verwendet werden?

Es gibt mehrere Methoden der Datentransformation, die zur Behandlung von Schiefe verwendet werden können, einige davon sind:

  1. Logarithmische Transformation: Durch die Anwendung einer logarithmischen Transformation kann eine positive Schiefe in den Daten reduziert werden.
  2. Box-Cox-Transformation: Die Box-Cox-Transformation ist eine allgemeinere Methode, die es ermöglicht, Schiefe durch die Anwendung einer exponentiellen Transformation zu reduzieren.
  3. Anschneiden oder Entfernen von Ausreißern: Ein weiteres Verfahren besteht darin, Ausreißer aus den Daten zu entfernen, die die Schiefe verursachen, dies kann jedoch dazu führen, dass wichtige Informationen verloren gehen.
  4. Normalisierung: Durch die Normalisierung der Daten kann eine Schiefe in den Daten reduziert werden, indem die Daten auf eine Standardverteilung gebracht werden.

Es ist wichtig zu beachten, dass jede Methode ihre eigenen Vor- und Nachteile hat und dass keine Methode die Verzerrung vollständig beseitigen kann. Daher ist es wichtig, die gewählte Methode sorgfältig auszuwählen und ihre Auswirkungen auf die Datenanalyse zu bewerten.

Was sind die Auswirkungen von Schiefe auf die Interpretation von Daten?

Schiefe in den Daten kann die Interpretation der Daten beeinflussen, indem es Schätzwerte und Konfidenzintervalle verzerrt. Einige Auswirkungen von Schiefe auf die Interpretation von Daten sind:

  1. Verzerrung von Schätzwerten: Schiefe in den Daten kann dazu führen, dass Schätzwerte, wie zum Beispiel das arithmetische Mittel oder die Median, nicht repräsentativ für die gesamten Daten sind.
  2. Verzerrung von Konfidenzintervallen: Schiefe kann auch dazu führen, dass die Konfidenzintervalle, die auf der Annahme einer Normalverteilung der Daten basieren, ungenau sind.
  3. Probleme bei der Verwendung von parametrischen Tests: Schiefe in den Daten kann die Annahmen von parametrischen Tests beeinträchtigen, was zu ungenauen Ergebnissen führen kann.
  4. Verzerrung von Histogrammen und anderen visuellen Darstellungen: Schiefe in den Daten kann dazu führen, dass Histogramme und andere visuelle Darstellungen der Daten ungenau sind, was es schwierig machen kann, die Verteilung der Daten zu verstehen.

Es ist daher wichtig, Schiefe in den Daten zu berücksichtigen, bevor die Daten interpretiert werden, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse der Analyse korrekt und valide sind.