Median bei klassierten Daten

Der Median gruppierter Daten ist ein kontinuierlicher Wert, der in Form einer Häufigkeitsverteilung vorliegt. Der Median ist der mittlere Wert der gegebenen Daten, der die obere Hälfte der Daten von der unteren Hälfte trennt. Bei der Berechnung des Medians von gruppierten Daten ist der Mittelwert nicht bekannt, da die Daten in Klassenintervalle unterteilt sind.

Was ist der Median von gruppierten Daten?

Beim Median gruppierter Daten handelt es sich um Daten, die in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind und in kontinuierlicher Form geschrieben werden. Die Daten liegen in Form einer Häufigkeitsverteilungstabelle vor, die die höheren Daten von den niedrigeren Daten trennt. Eine der einfachsten Methoden, den Median von gruppierten Daten zu ermitteln, ist die Verwendung der Formel. Die Suche nach dem Mittelwert oder Median gruppierter Daten kann jedoch schwierig sein. Um den Median für gruppierte Daten zu ermitteln, können wir daher die folgenden Schritte und Formeln verwenden:

  • Schritt 1: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Beobachtungen.
  • Schritt 2: Bestimmen Sie die Klassengröße und unterteilen Sie die Daten in verschiedene Klassen.
  • Schritt 3: Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit jeder Klasse.
  • Schritt 4: Ermitteln Sie die Klasse, in die der Median fällt. (Die Median-Klasse ist die Klasse, in der n/2 liegt.)
  • Schritt 5: Ermitteln Sie die untere Grenze der Median-Klasse (l) und die kumulative Häufigkeit der Median-Klasse (c).

Median = l + [(n/2-c)/f] × h

Wobei,

l = untere Grenze der Median-Klasse

n = Gesamtzahl der Beobachtungen

c = kumulative Häufigkeit der vorangehenden Klasse

f = Häufigkeit der einzelnen Klassen

h = Klassengröße

Definition vom Median

Der Median ist der mittlere Wert in einem gegebenen Datensatz, nachdem dieser in aufsteigender Reihenfolge angeordnet wurde. Wenn die Gesamtzahl der Elemente in der Liste ungerade ist, wird nach der Anordnung der Werte in aufsteigender Reihenfolge der mittlere Wert als Median genommen, d. h. der Median ist durch den [(n+1)/2]-ten Term gegeben, wobei “n” die Gesamtzahl der Beobachtungen ist. Ist die Anzahl der Elemente im Datensatz geradzahlig, wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen, d. h. [(n/2)-ter Term + ((n/2) + 1)-ter Term] / 2, wobei “n” die Gesamtzahl der Beobachtungen ist.

Ein Beispiel: Betrachten wir die Daten: 48, 20, 50, 69, 73. Was ist der Median?

Lösung:

In aufsteigender Reihenfolge erhalten wir: 20, 48, 50, 69, 73. Hier ist n (Anzahl der Beobachtungen) = 5

Um den Median der ungeraden Daten zu ermitteln, verwenden wir die folgende Formel:

[(n+1)/2] = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3

Daher gilt: Median = 3.

Median = 50.

Schritte zur Ermittlung des Medians von gruppierten Daten

Der Median von gruppierten Daten hat die Form einer Häufigkeitsverteilung in aufsteigender Reihenfolge und ist kontinuierlich. Die Ermittlung des Medians von beliebigen Daten ist einfach, da der Median der mittlere Wert der Daten ist. Da die Daten gruppiert sind, sind sie in Klassenintervalle unterteilt. Im Folgenden werden die Schritte zur Ermittlung des Medians gruppierter Daten erläutert.

  • Schritt 1: Erstellen Sie die Häufigkeitsverteilungstabelle mit den Klassenintervallen und Häufigkeiten.
  • Schritt 2: Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit der Daten, indem Sie den vorhergehenden Wert der Häufigkeit mit dem aktuellen Wert addieren.
  • Schritt 3: Ermitteln Sie den Wert von n, indem Sie die Werte der Häufigkeit addieren.
  • Schritt 4: Ermitteln der Median-Klasse. Wenn n ungerade ist, ist der Median der (n+1/2). Ist n gerade, so ist der Median der Durchschnitt der n/2-ten und der (n/2 +1)-ten Beobachtung.
  • Schritt 5: Ermitteln Sie die untere Grenze des Klassenintervalls und die kumulative Häufigkeit.
  • Schritt 6: Wenden Sie die Formel für den Median für gruppierte Daten an: Median = l + [(n/2-c)/f] × h

Um dies besser zu verstehen, wollen wir uns ein Beispiel ansehen.

Zum Beispiel: Berechnen Sie den Median für die folgenden Daten:

Gruppierung0 – 1010 – 3030 – 6060 – 8080 – 90
Anzahl von Studenten62037107

Lösung:

Wir müssen die kumulierten Häufigkeiten berechnen, um den Median zu finden.

GruppierungAnzahl von StudentenKumulierte Häufigkeit
0 – 2060 + 66
20 – 40206 + 2026
40 – 603726 + 3763
60 – 801063 + 1073
80 – 100773 + 780

N = Summe der cf = 80, N/2 = 80/2 = 40

Da n gerade ist, finden wir den Durchschnitt der n/2-ten und der (n/2 +1)-ten Beobachtung, d.h. die kumulative Häufigkeit größer als 40 ist 63 und die Klasse ist 40 – 60. Daher ist die mittlere Klasse 40 – 60.

l = 40, f = 37, c = 26, h = 20

Verwendung der Median-Formel:

Median = l + [(n/2-c)/f] × h

= 40 + [(37 – 26)/40] × 20

= 40 + (11/40) × 20

= 40 + (220/40)

= 40 + 5.5

= 45.5

Der Median ist also 45,5.

Formel für den Median von gruppierten Daten

Die Formel zur Berechnung des Medians von gruppierten Daten ist dieselbe wie oben beschrieben. Die Daten müssen kontinuierlich und in Form einer Häufigkeitsverteilung vorliegen, und der Median wird durch die folgende Abfolge von Schritten berechnet.

Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Beobachtungen (n).

Definieren Sie die Klassengröße (h) und teilen Sie die Daten in verschiedene Klassen ein.

Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit jeder Klasse.

Ermitteln Sie die Klasse, in die der Median fällt. (Die Median-Klasse ist die Klasse, in der n/2 liegt.)

Finde die untere Grenze der Median-Klasse (l) und die kumulative Häufigkeit der Median-Klasse (c).

Die Formel lautet also: Median = l + [(n/2-c)/f] × h