Der Median gruppierter Daten ist ein kontinuierlicher Wert in Form einer Häufigkeitsverteilung. Der Median ist der mittlere Wert der gegebenen Daten, der die obere Hälfte der Daten von der unteren Hälfte trennt. Bei der Berechnung des Medians gruppierter Daten ist der Mittelwert nicht bekannt, da die Daten in Klassenintervalle eingeteilt sind.
Was ist der Median gruppierter Daten?
Beim Median gruppierter Daten handelt es sich um Daten, die in aufsteigender Reihenfolge angeordnet und in kontinuierlicher Form geschrieben sind. Die Daten liegen in Form einer Häufigkeitsverteilungstabelle vor, die die höchsten Daten von den niedrigsten Daten trennt. Eine der einfachsten Methoden zur Bestimmung des Medians von gruppierten Daten ist die Verwendung der Formel. Es kann jedoch schwierig sein, den Mittelwert oder Median gruppierter Daten zu finden. Daher können die folgenden Schritte und Formeln verwendet werden, um den Median für gruppierte Daten zu bestimmen:
- Schritt 1: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Beobachtungen.
- Schritt 2: Bestimmen Sie die Klassengröße und unterteilen Sie die Daten in verschiedene Klassen.
- Schritt 3: Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit jeder Klasse.
- Schritt 4: Ermitteln Sie die Klasse, in die der Median fällt. (Die Median-Klasse ist die Klasse, in der n/2 liegt.)
- Schritt 5: Ermitteln Sie die untere Grenze der Median-Klasse (l) und die kumulative Häufigkeit der Median-Klasse (c).
Median = l + [(n/2-c)/f] × h
Wobei,
l = untere Grenze der Median-Klasse
n = Gesamtzahl der Beobachtungen
c = kumulative Häufigkeit der vorangehenden Klasse
f = Häufigkeit der einzelnen Klassen
h = Klassengröße
Definition vom Median
Der Median ist der mittlere Wert eines Datensatzes, nachdem die Werte in aufsteigender Reihenfolge sortiert wurden. Wenn die Gesamtzahl der Elemente in der Liste ungerade ist, wird der mittlere Wert als Median genommen, nachdem die Werte in aufsteigender Reihenfolge sortiert wurden, d. h. der Median wird durch den [(n+1)/2]-ten Term gegeben, wobei “n” die Gesamtzahl der Beobachtungen ist. Wenn die Anzahl der Elemente im Datensatz gerade ist, wird der Durchschnitt der beiden Mittelwerte genommen, d. h. [(n/2)-ter Term + ((n/2) + 1)-ter Term] / 2, wobei “n” die Gesamtzahl der Beobachtungen ist.
Ein Beispiel: Betrachten wir die Daten 48, 20, 50, 69, 73, was ist der Median?
Lösung:
In aufsteigender Reihenfolge erhalten wir: 20, 48, 50, 69, 73. Hier ist n (Anzahl der Beobachtungen) = 5
Um den Median der ungeraden Daten zu ermitteln, verwenden wir die folgende Formel:
[(n+1)/2] = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
Daher gilt: Median = 3.
Median = 50.
Schritte zur Ermittlung des Medians von gruppierten Daten
Der Median gruppierter Daten hat die Form einer aufsteigenden Häufigkeitsverteilung und ist kontinuierlich. Es ist einfach, den Median beliebiger Daten zu bestimmen, da der Median der Mittelwert der Daten ist. Da die Daten gruppiert sind, werden sie in Klassenintervalle unterteilt. Die Schritte zur Bestimmung des Medians von gruppierten Daten werden im Folgenden erläutert.
- Schritt 1: Erstellen Sie die Häufigkeitsverteilungstabelle mit den Klassenintervallen und Häufigkeiten.
- Schritt 2: Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit der Daten, indem Sie den vorhergehenden Wert der Häufigkeit mit dem aktuellen Wert addieren.
- Schritt 3: Ermitteln Sie den Wert von n, indem Sie die Werte der Häufigkeit addieren.
- Schritt 4: Ermitteln der Median-Klasse. Wenn n ungerade ist, ist der Median der (n+1/2). Ist n gerade, so ist der Median der Durchschnitt der n/2-ten und der (n/2 +1)-ten Beobachtung.
- Schritt 5: Ermitteln Sie die untere Grenze des Klassenintervalls und die kumulative Häufigkeit.
- Schritt 6: Wenden Sie die Formel für den Median für gruppierte Daten an: Median = l + [(n/2-c)/f] × h
Um dies besser zu verstehen, wollen wir uns ein Beispiel ansehen.
Zum Beispiel: Berechnen Sie den Median für die folgenden Daten:
| Gruppierung | 0 – 10 | 10 – 30 | 30 – 60 | 60 – 80 | 80 – 90 |
| Anzahl von Studenten | 6 | 20 | 37 | 10 | 7 |
Lösung:
Wir müssen die kumulierten Häufigkeiten berechnen, um den Median zu finden.
| Gruppierung | Anzahl von Studenten | Kumulierte Häufigkeit | |
| 0 – 20 | 6 | 0 + 6 | 6 |
| 20 – 40 | 20 | 6 + 20 | 26 |
| 40 – 60 | 37 | 26 + 37 | 63 |
| 60 – 80 | 10 | 63 + 10 | 73 |
| 80 – 100 | 7 | 73 + 7 | 80 |
N = Summe der cf = 80, N/2 = 80/2 = 40
Da n gerade ist, finden wir den Durchschnitt der n/2-ten und der (n/2 +1)-ten Beobachtung. Die kumulative Häufigkeit größer als 40 ist 63 und die Klasse ist 40 – 60. Daher ist die mittlere Klasse 40 – 60.
l = 40, f = 37, c = 26, h = 20
Verwendung der Median-Formel:
Median = l + [(n/2-c)/f] × h
= 40 + [(40 – 26)/37] × 20
= 40 + (14/37) × 20
= 40 + (280/40)
≈ 47.568
Der korrekte Median für diese Daten ist also ungefähr 47.568.
Formel zur Berechnung des Medians gruppierter Daten
Die Formel für die Berechnung des Medians gruppierter Daten ist die gleiche wie oben beschrieben. Die Daten müssen kontinuierlich und in Form einer Häufigkeitsverteilung vorliegen, und der Median wird in der folgenden Schrittfolge berechnet.
Die Gesamtzahl der Beobachtungen (n) wird bestimmt.
Die Klassengröße (h) wird bestimmt und die Daten werden in verschiedene Klassen eingeteilt.
Berechnung der kumulativen Häufigkeit für jede Klasse.
Bestimmen Sie die Klasse, in die der Median fällt. (Die Medianklasse ist die Klasse, in der n/2 liegt.)
Bestimmen Sie die Untergrenze der Medianklasse (l) und die kumulative Häufigkeit der Medianklasse (c).
Die Formel lautet dann: Median = l + [(n/2-c)/f] × h