Was ist eine Normalverteilung?

Die Normalverteilung, auch bekannt als Gauß-Verteilung, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die symmetrisch um den Mittelwert ist und zeigt, dass Daten in der Nähe des Mittelwerts häufiger vorkommen als Daten, die weit vom Mittelwert entfernt sind. In grafischer Form wird die Normalverteilung als Glockenkurve dargestellt.

Normalverteilungsrechner

Gut zu wissen

  • Eine Normalverteilung ist die richtige Bezeichnung für eine Wahrscheinlichkeitsglockenkurve.
  • Bei einer Normalverteilung ist der Mittelwert gleich Null und die Standardabweichung gleich 1. Sie hat eine Schiefe von Null und eine Kurtosis von 3.
  • Normalverteilungen sind symmetrisch, aber nicht alle symmetrischen Verteilungen sind normal.
  • In der Realität sind die meisten Verteilungen nicht vollkommen normal.
(Normalverteilung = Gauß-Verteilung)

Verständnis der Normalverteilung

Die Normalverteilung ist der häufigste Verteilungstyp, der in statistischen Analysen angenommen wird. Die Standard-Normalverteilung hat zwei Parameter: den Mittelwert und die Standardabweichung. Bei einer Normalverteilung liegen 68 % der Beobachtungen innerhalb von +/- einer Standardabweichung des Mittelwerts, 95 % liegen innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von +- drei Standardabweichungen.

Das Modell der Normalverteilung wird durch den zentralen Grenzwertsatz begründet. Diese Theorie besagt, dass Durchschnittswerte, die aus unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen berechnet werden, annähernd normalverteilt sind, unabhängig von der Art der Verteilung, aus der die Variablen entnommen werden (vorausgesetzt, sie hat eine endliche Varianz). Die Normalverteilung wird manchmal mit der symmetrischen Verteilung verwechselt. Eine symmetrische Verteilung ist eine Verteilung, bei der eine Trennlinie zwei Spiegelbilder erzeugt, aber die tatsächlichen Daten könnten neben der Glockenkurve, die eine Normalverteilung anzeigt, auch zwei Buckel oder eine Reihe von Hügeln aufweisen.

Bei der Normalverteilung machen die Werte, die weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert abweichen, 68,27 % der Menge aus, während zwei Standardabweichungen vom Mittelwert 95,45 % und drei Standardabweichungen 99,73 % ausmachen.

Praktische Beispiele der Normalverteilung

Die Normalverteilung lässt sich anhand alltäglicher Beispiele leicht veranschaulichen. Ein klassisches Beispiel ist die Verteilung der Körpergröße in einer Bevölkerung. Stellen Sie sich eine Stadt vor, in der die Körpergröße von 5000 zufällig ausgewählten Einwohnern gemessen wird. Die Mehrheit dieser Menschen wird eine Körpergröße um den Durchschnittswert haben, in diesem Fall vielleicht um 1,80 m. Sehr große oder sehr kleine Körpergrößen werden seltener auftreten, was sich in der Form der Glockenkurve widerspiegelt.

Ein weiteres anschauliches Beispiel ist das Würfeln. Wenn Sie zwei faire Würfel werfen, sind die Wahrscheinlichkeiten für das Erreichen bestimmter Summen nicht gleich verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu würfeln, ist höher als eine 2 oder 12, da es mehr Kombinationen gibt, die zu einer 7 führen. Werfen Sie eine große Anzahl von Würfeln und wiederholen Sie dies mehrmals, nähern sich die Ergebnisse zunehmend einer Glockenkurve an – ein Phänomen, das die Normalverteilung widerspiegelt.

Diese Beispiele demonstrieren, wie Normalverteilung in der realen Welt auftritt und wie sie unser Verständnis von Wahrscheinlichkeiten und statistischen Daten beeinflusst.

Der Zentrale Grenzwertsatz in der Praxis

Ein zentraler Aspekt der Normalverteilung ist der Zentrale Grenzwertsatz. Dieses statistische Prinzip besagt, dass, wenn Sie eine große Anzahl von unabhängigen Zufallsvariablen nehmen – unabhängig von ihrer ursprünglichen Verteilung – ihre Summe (oder ihr Durchschnitt) dazu tendiert, eine Normalverteilung anzunehmen.

Telefonumfrage-Beispiel

Ein einfaches Beispiel hierfür ist eine Telefonumfrage. Angenommen, Sie möchten herausfinden, wie beliebt Schokolade in Deutschland ist. Sie rufen zufällig Menschen an und fragen, ob sie Schokolade mögen. Nachdem Sie viele solcher Anrufe getätigt haben, werden Sie feststellen, dass die Verteilung Ihrer Ergebnisse eine Glockenkurve bildet, die die Normalverteilung darstellt. Dies liegt daran, dass die individuellen Antworten (Ja oder Nein) zusammengefasst (durch Aggregation) eine größere Stichprobe bilden, die die Kriterien für den Zentralen Grenzwertsatz erfüllt.

Würfel-Beispiel

Ein weiteres Beispiel ist das Würfeln. Wenn Sie zwei Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit jeder Augensumme nicht gleich. Einige Summen sind wahrscheinlicher als andere. Werfen Sie mehrere Würfel über mehrere Runden, nähert sich die Verteilung der Summen einer Normalverteilung an. Dies illustriert, wie der Zentrale Grenzwertsatz in einem einfachen Experiment mit Zufallsvariablen (Würfelwürfen) angewendet werden kann.

Diese Beispiele zeigen, wie der Zentrale Grenzwertsatz in alltäglichen Situationen vorkommt und unser Verständnis für Wahrscheinlichkeiten und Statistik bereichert.