In der Statistik ist die Korrelation ein Maß, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu beschreiben. Wenn man mehrere Korrelationen miteinander vergleichen möchte, ist es wichtig, geeignete statistische Verfahren anzuwenden. In diesem Artikel werden wir uns mit verschiedenen Methoden zur statistischen Analyse und zum Vergleich von Korrelationen befassen. Dazu gehören der Fisher-Z-Test, der Meng-Z-Test, der Williams-T2-Test und der Steiger-Vergleich.
Bedeutung und Interpretation von Korrelationen
Der Begriff “Korrelation” bezieht sich auf eine statistische Messung, die den Grad des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen beschreibt. Die Stärke dieses Zusammenhangs wird durch den Korrelationskoeffizienten dargestellt, der Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann. Eine positive Korrelation bedeutet, dass wenn eine Variable zunimmt, auch die andere tendenziell zunimmt. Bei einer negativen Korrelation ist das Gegenteil der Fall: Eine Zunahme einer Variable geht mit einer Abnahme der anderen einher. Ein Wert nahe 0 deutet darauf hin, dass kein starker Zusammenhang zwischen den Variablen besteht.
Es ist wichtig zu verstehen, dass Korrelationen ungerichtet sind und keine Kausalität implizieren. Das heißt, aus einer Korrelation kann nicht geschlossen werden, dass eine Variable die Ursache für die Veränderung der anderen ist. Korrelationen geben lediglich Aufschluss darüber, ob und wie stark ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen besteht.
Fisher-Z-Test
Der Fisher-Z-Test ist eine der bekanntesten Methoden zur Untersuchung der Unterschiede zwischen zwei unabhängigen Korrelationen. Dabei wird die Fisher-Z-Transformation auf die Korrelationskoeffizienten angewendet, um sie normalverteilt zu machen. Der Test berechnet dann den Unterschied zwischen den transformierten Korrelationen und prüft, ob dieser Unterschied signifikant ist.
Ein Diagramm der Transformation (in orange). Der untransformierte Stichprobenkorrelationskoeffizient ist auf der horizontalen Achse und der transformierte Koeffizient auf der vertikalen Achse aufgetragen. Die Identitätsfunktion (grau) ist ebenfalls zum Vergleich dargestellt.
Fisher-Z-Transformation
Die Korrelationskoeffizienten r1 und r2 werden in Z-Werte (z1 und z2) transformiert: z = 0.5 * ln((1 + r) / (1 – r))
Berechnung der Standardabweichung
Die Standardabweichung (SE) wird berechnet als: SE = sqrt((1 / (n1 – 3)) + (1 / (n2 – 3)))
Berechnung des Z-Werts
Der Z-Wert wird berechnet als: Z = (z1 – z2) / SE
Bestimmung der Signifikanz
Die Signifikanz wird anhand des berechneten Z-Werts und der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit (üblicherweise α = 0,05) bestimmt.
Meng-Z-Test
Der Meng-Z-Test ist eine Methode zur Untersuchung der Unterschiede zwischen abhängigen Korrelationen, die sich auf dieselben oder überlappende Stichproben beziehen. Dabei wird ein Bootstrap-Verfahren verwendet, um die Verteilung der Differenzen der Korrelationskoeffizienten zu schätzen.
Williams-T2-Test
Der Williams-T2-Test ist eine weitere Methode zur Untersuchung der Unterschiede zwischen abhängigen Korrelationen. Der Test verwendet den T2-Statistiker und prüft, ob dieser signifikant von der Nullhypothese abweicht, dass es keinen Unterschied zwischen den Korrelationen gibt.
Steiger-Vergleich
Der Steiger-Vergleich ist eine Methode zur Untersuchung der Unterschiede zwischen abhängigen Korrelationen, die sich auf unterschiedliche Stichproben beziehen. Dabei wird die Korrelation zwischen den beiden Korrelationskoeffizienten und den gemeinsamen Varianzanteilen der Stichproben berücksichtigt.
Korrelationsvergleichsrechner (Fisher-Z-Test)
Auswahl des geeigneten Tests
Die Wahl des richtigen Tests hängt von den Eigenschaften der zu vergleichenden Korrelationen ab:
Unabhängige Korrelationen
Wenn die Korrelationen unabhängig sind und sich auf unterschiedliche Stichproben beziehen, ist der Fisher-Z-Test die geeignete Methode.
Abhängige Korrelationen
Abhängige Korrelationen, dieselben Stichproben Für abhängige Korrelationen, die sich auf dieselben Stichproben beziehen, sind der Meng-Z-Test und der Williams-T2-Test geeignet. Beide Tests berücksichtigen die Abhängigkeit der Korrelationen und die Tatsache, dass die Stichproben nicht unabhängig sind.
Abhängige Korrelationen
Abhängige Korrelationen, unterschiedliche Stichproben Für abhängige Korrelationen, die sich auf unterschiedliche Stichproben beziehen, ist der Steiger-Vergleich angebracht. Dieser Test berücksichtigt sowohl die Abhängigkeit der Korrelationen als auch die gemeinsamen Varianzanteile der Stichproben.
Sofware zur Durchführung von Korrelationsvergleichen
Es gibt verschiedene Statistik-Softwarepakete, die den Vergleich von Korrelationen unterstützen. Dazu gehören unter anderem:
- R: Die Programmiersprache R ist ein leistungsfähiges Werkzeug für statistische Analysen und verfügt über mehrere Pakete, die den Vergleich von Korrelationen ermöglichen (z. B. cocor, psych, stats).
- SPSS: Die Statistik-Software SPSS bietet Funktionen zum Vergleich von Korrelationen, einschließlich des Fisher-Z-Tests und des Williams-T2-Tests.
- MATLAB: In MATLAB können Korrelationsvergleiche mit dem Statistics and Machine Learning Toolbox durchgeführt werden.
Fazit
Der statistische Vergleich von Korrelationen kann helfen, festzustellen, ob Unterschiede zwischen den Zusammenhängen von Variablen tatsächlich signifikant sind. Je nachdem, ob die Korrelationen unabhängig oder abhängig sind und ob sie sich auf dieselben oder unterschiedliche Stichproben beziehen, können verschiedene Methoden angewendet werden. Der Fisher-Z-Test, der Meng-Z-Test, der Williams-T2-Test und der Steiger-Vergleich sind vier gängige Verfahren, die je nach Situation und Datensatz eingesetzt werden können.