Gepaarter Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test Rechner

Hier findest du eine ausführliche Anleitung und Interpretationshilfe zum Gepaarter Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test Rechner. Der Wilcoxon-Test wird hier als nicht-parametrische Alternative zum gepaarten t-Test verwendet, wenn die Normalverteilungsannahme für die Differenzen zwischen gepaarten Messwerten nicht (oder nur unsicher) erfüllt ist.

1. Grundidee des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests (gepaart)

• Fragestellung: Unterscheiden sich die Werte von zwei gepaarten Messungen (z. B. vorher/nachher, zwei Messmethoden am gleichen Objekt, linker/rechter Arm etc.) systematisch in ihrer zentralen Tendenz?
• Gepaarte Daten bedeuten, dass jede Beobachtung im Datensatz 1 einem eindeutigen Gegenstück im Datensatz 2 entspricht.

Null- und Alternativhypothese

1. Nullhypothese (H₀): Die Verteilung der gepaarten Differenzen ist symmetrisch um 0; mit anderen Worten, es gibt keinen systematischen Unterschied zwischen beiden Messreihen.
2. Alternativhypothese (H₁): Es liegt ein systematischer Unterschied vor (je nach Testausrichtung „≠“, „<“ oder „>“ 0).

Warum ein Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test?

• Nicht-parametrisch: Der Test macht keine Annahme über die Verteilung (z. B. Normalverteilung) der gepaarten Differenzen.
• Ordnung statt Mittelwerte: Er betrachtet die Ränge der absoluten Differenzen und deren Vorzeichen.

2. Aufbau des Rechners

Du kannst zwischen zwei Eingabemethoden wählen, um deine gepaarten Daten einzugeben:

1. Manuelle Dateneingabe:
   • Zwei Textfelder, je eines für Datenreihe 1 und Datenreihe 2.
   • Werte können durch Komma, Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch getrennt sein.
2. CSV/Excel Upload:
   • Datei mit mindestens zwei Spalten hochladen.
   • Erste Spalte = Datenreihe 1, zweite Spalte = Datenreihe 2.
   • Der Rechner liest alle Zahlenpaare ein und ordnet sie automatisch der ersten bzw. zweiten Datenreihe zu.

Zusätzlich legst du das Signifikanzniveau (α) und die Testart (zweiseitig, einseitig links/rechts) fest.

3. Schritt-für-Schritt-Anleitung

3.1. Eingabemethode auswählen

1. Unter „Eingabemethode“:
   • Manuelle Dateneingabe (Standard): Du kopierst/fügst die Daten in zwei Textfelder ein.
   • CSV/Excel Upload: Du wählst eine Datei aus, die mindestens zwei Spalten mit Zahlen enthält.

3.2. Daten eingeben

• Bei manueller Eingabe:
  • Fülle das Textfeld „Datenreihe 1“ und das Textfeld „Datenreihe 2“ aus.
  • Achte darauf, dass beide Reihen gleich viele Werte enthalten.
• Bei CSV/Excel Upload:
  • Lade eine Datei hoch, in der mindestens zwei Spalten enthalten sind.
  • Im Skript werden nur die erste und zweite Spalte berücksichtigt.
  • Nach dem Upload liest der Rechner die Datenpaare automatisch ein.

3.3. Signifikanzniveau und Testart einstellen

• Gib dein gewünschtes Signifikanzniveau (α) ein (z. B. 0,05).
• Wähle unter „Testart“:
  • Zweiseitig (≠): Du prüfst, ob sich die zentralen Tendenzen der beiden gepaarten Messungen in irgendeiner Richtung unterscheiden.
  • Einseitig links (<): Du prüfst, ob Datenreihe 1 im Median kleiner ist als Datenreihe 2.
  • Einseitig rechts (>): Du prüfst, ob Datenreihe 1 im Median größer ist als Datenreihe 2.

(Tipp: In der Praxis wird meistens der zweiseitige Test verwendet, um allgemein eine Abweichung festzustellen.)

3.4. Berechnung starten

1. Klicke auf Berechnen.
2. Der Rechner ermittelt automatisch:
   • Die Differenzen (di=x1i−x2i)(d_i = x_{1i} – x_{2i}) zwischen den Paaren (bzw. je nach Skriptkonvention)
   • Schließt alle Paare mit Differenz = 0 aus.
   • Sortiert die absoluten Differenzen und weist Ränge zu.
   • Summiert die Ränge für positive und negative Differenzen. (Ergebnis: W+W^+ und W−W^-)
   • Verwendet eine Normalapproximation für größere Stichproben (inkl. Kontinuitätskorrektur).
   • Gibt den berechneten z-Wert, den p-Wert, sowie den kritischen Wert und den Rejektionsbereich aus.

4. Interpretation der Ergebnisse

Nach Klick auf Berechnen erhältst du unter anderem:

1. z-Wert
   • Der Testverlauf nutzt eine Normalapproximation auf Basis der Wilcoxon-Verteilung (für größere Stichproben).
   • Bei sehr kleinen Stichproben sollte man ggf. Tabellenwerte benutzen oder eine exakte Berechnung vornehmen. Der Rechner wendet standardmäßig die Approximation an.
2. p-Wert
   • Die Wahrscheinlichkeit, unter Annahme von H₀, mindestens so extreme Rangunterschiede zu beobachten.
   • p < α → Statistisch signifikantes Ergebnis (H₀ ablehnen).
   • p ≥ α → Keine ausreichende Evidenz, um H₀ abzulehnen.
3. W⁺ (Summe der positiven Ränge) und W⁻ (Summe der negativen Ränge)
   • Diese Summen verdeutlichen, ob und wie stark sich Datenreihe 1 von Datenreihe 2 unterscheidet.
   • Bei einem zweiseitigen Test ist insbesondere die kleinere der beiden Summen relevant als Teststatistik. Im Rechner wird über W+W^+ (oder W−W^-) in eine z-Wert-Berechnung überführt.
4. Anzahl der berücksichtigten Paare (n)
   • Falls einige Differenzen = 0 waren, kann nn geringer sein als die ursprüngliche Stichprobengröße.
5. Kritischer Wert und Rejektionsbereich
   • Grenzt ab, ob der z-Wert (bzw. die Wilcoxon-Statistik) in den Bereich fällt, in dem du H₀ ablehnst.
6. Entscheidung
   • „Ablehnung der Nullhypothese (H₀)“: Bedeutet, die Daten sprechen dafür, dass ein systematischer Unterschied (zweiseitig) bzw. eine einseitige Abweichung existiert.
   • „Keine ausreichenden Beweise, um H₀ abzulehnen“: Die Daten liefern keine ausreichende Evidenz für einen Unterschied, was nicht automatisch heißt, dass kein Unterschied existiert – nur, dass er statistisch nicht signifikant nachgewiesen werden kann.

5. Beispiele

Beispiel 1: Zweiseitiger Test

• Datenreihe 1 (Vorher): 5, 7, 6, 8
• Datenreihe 2 (Nachher): 4, 6, 5, 7
• α = 0,05
• Ziel: Gibt es einen zweiseitigen Unterschied zwischen Vorher- und Nachherwerten?

Mögliche Ergebnisse (fiktives Beispiel):

• W+=10.0W^+ = 10.0, W−=0.0W^- = 0.0
• z-Wert: 2.04
• p-Wert: 0.041 (zweiseitig)
• Entscheidung: p (0.041) < α (0.05) ⇒ Ablehnung von H₀
• Interpretation: Die Nachher-Werte sind im Median niedriger als die Vorher-Werte (positiver Rang für Vorher – Nachher).

Beispiel 2: Einseitiger Rechts-Test

• Datenreihe 1: 50, 52, 55, 60
• Datenreihe 2: 48, 49, 54, 58
• α = 0,05
• Ziel: Prüfen, ob Datenreihe 1 größer ist als Datenreihe 2 (einseitig rechts).

Mögliche Ergebnisse (fiktives Beispiel):

• W+=8.0W^+ = 8.0, W−=2.0W^- = 2.0
• z-Wert: 1.85
• p-Wert: 0.032 (einseitig)
• Entscheidung: p (0.032) < α (0.05) ⇒ Ablehnung von H₀
• Interpretation: Die Daten stützen die Vermutung, dass Datenreihe 1 im Median höher liegt als Datenreihe 2.

6. Praktische Hinweise

1. Gültigkeit: Der gepaarte Wilcoxon-Test ist ein Rangtest, der keine Normalverteilung der Differenzen voraussetzt. Trotzdem sollten gewisse Voraussetzungen erfüllt sein:
   • Paardesign: Jede Beobachtung in Reihe 1 passt eindeutig zu einer Beobachtung in Reihe 2.
   • Unterschiede sind unabhängig voneinander.
2. Stichprobengröße:
   • Für sehr kleine n kann die Normalapproximation ungenau sein. Dann sind exakte Methoden besser.
   • Für n > 20 ist die Normalapproximation meist vernünftig.
3. Ausreißer:
   • Da es sich um einen Rangtest handelt, ist er robuster gegen Ausreißer als ein t-Test, allerdings können große Ausreißer immer noch Einfluss haben.
4. Einseitig vs. Zweiseitig:
   • Einseitig links: Du erwartest, dass Datenreihe 1 kleiner ist als Datenreihe 2.
   • Einseitig rechts: Du erwartest, dass Datenreihe 1 größer ist als Datenreihe 2.
   • Zweiseitig: Du weißt nicht in welche Richtung die Abweichung geht (oder bist an beiden Richtungen interessiert).

7. Zusammenfassung

• Eingabe: Wähle, ob du deine Daten manuell oder via CSV/Excel eingibst. Achte auf gleiche Anzahl an Werten in beiden Reihen.
• Berechnung: Der Rechner erstellt Ränge der absoluten Differenzen, summiert positive und negative Ränge und nähert die Wilcoxon-Verteilung über die Normalverteilung an.
• Ergebnis: Du bekommst einen z-Wert, p-Wert, sowie kritische Werte und eine Aussage, ob H₀ abgelehnt oder nicht abgelehnt wird.
• Interpretation:
  • p < α → statistisch signifikanter Unterschied (H₀ ablehnen).
  • p ≥ α → keine ausreichende Evidenz gegen H₀.

Somit hast du eine nicht-parametrische Methode, um gepaarte Daten auf systematische Unterschiede zu prüfen, ohne dich ausschließlich auf die Normalverteilungsannahme verlassen zu müssen.