Zufall ist das Eintreten von Ereignissen ohne ersichtlichen Grund oder Ursache. Es ist einfach die Möglichkeit, dass etwas geschieht. In der Mathematik wird der Zufall als Wahrscheinlichkeit bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit ist das Ausmaß, in dem ein Ereignis wahrscheinlich eintritt, gemessen durch das Verhältnis der günstigen Fälle zur Gesamtzahl der möglichen Fälle.
Mathematisch gesehen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, gleich dem Verhältnis zwischen der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle.
P(E ) = (Anzahl der Ergebnisse, die für E günstig sind) / (Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Experiments)
Die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als P(E) bezeichnet.
Angenommen, wir nehmen eine Münze und werfen sie. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie Kopf anzeigt, ist gleich groß wie die, dass sie Zahl zeigt. In ähnlicher Weise besteht bei jedem dieser Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass einer der verschiedenen Fälle eintritt. Beim Würfeln zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs Zahlen zu erhalten, gleich groß. Wir gehen auch davon aus, dass der Würfel oder die Münze, die wir verwenden, unvoreingenommen und fair sind, d. h. dass sie nicht mit der Absicht manipuliert wurden, ein bestimmtes Ergebnis zu begünstigen.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammengenommen werden als Stichprobenraum bezeichnet.
Die einzelnen möglichen Ergebnisse eines Ereignisses werden als Ergebnis bezeichnet. Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis hat, nennt man es ein Elementarereignis.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für jedes Elementarereignis ist 1. Zum Beispiel sind beim Werfen einer Münze die beiden möglichen Ergebnisse Kopf oder Zahl.
P (Kopf) = 0,5
P (Zahl) = 0,5
Die Summe aller möglichen Ergebnisse umfasst nun die Wahrscheinlichkeit für Kopf und die Wahrscheinlichkeit für Zahl.
P (Werfen einer Münze) = P (Kopf) + P (Zahl) = 0,5 + 0,5 = 1
Wenn wir nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, dass ein Ereignis nicht eintritt. Sie wird mit einem Balken über dem E dargestellt. P(E¯) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E nicht eintritt, und wird als Komplement des Ereignisses E bezeichnet. Daher können wir sagen, dass E und komplementär sind.
P (E) + P(E¯) = 1
(Hinweis: Aus Formatierungsgründen ist hier ein Minus neben dem E -> in der mathematisch korrekten Schreibweise muss aber der Strich direkt über den Buchstaben.)
Dies bedeutet auch, dass P(E¯) = 1 – P(E)
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0. Man nennt dies ein unmögliches Ereignis.
Die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis ist 1. Man spricht von einem sicheren Ereignis.
Alle Wahrscheinlichkeiten, die sich auf dasselbe Ereignis beziehen, liegen zwischen 0 und 1.
0 ≤ P(E) ≤ 1
Beispiele für Problemfälle
1. Würfel-Probleme
Finde die Wahrscheinlichkeit, eine rote, blaue und grüne Kugel zu wählen, wenn ein Beutel 5 blaue, 8 rote und 10 grüne Kugeln enthält.
a. Wahrscheinlichkeit der Wahl einer roten Kugel
Mögliche Ergebnisse = 23
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gewählt wird, ist also 8/23.
b. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu wählen, 10/23
c. und die Wahrscheinlichkeit, dass die blaue Kugel gewählt wird, ist 5/23
2. Probleme mit Kartenstapeln
Wenn eine Karte aus einem Kartenspiel gezogen wird, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte,
a. Eine Zwei
b. Keine Zwei gezogen wird
I. Es gibt vier 2en in einem Kartenspiel
Somit ist die Gesamtzahl der günstigen Ergebnisse = E = 4
Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse = 52
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 2 aus einem Kartenspiel mit 52 Karten gezogen wird, ist also:
P(E) = 4/52 = 1/13
II. T sei das Ereignis “gezogene Karte ist keine 2”.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, eine Karte zu ziehen, die keine 2 ist, = T
T = 52 – 4 = 48
Daraus folgt,
P(T) = 48/52 = 12/13
Eine andere Möglichkeit, die gleiche Lösung zu finden, ist,
P(T) = P(E) – 1 = 1 – 1/13 = 12/13