Die Methode der kleinsten Quadrate für die lineare Regression

Posted onAutorMartin Grellmann

Die lineare Regression ist eines der grundlegendsten und am häufigsten angewendeten Verfahren in der Statistik. Sie ermöglicht es, Beziehungen zwischen zwei oder mehr Variablen zu modellieren und Vorhersagen zu treffen. In vielen wissenschaftlichen, technischen und wirtschaftlichen Bereichen ist es von entscheidender Bedeutung, solche Beziehungen zu verstehen und zu quantifizieren.

Ein zentrales Werkzeug in der linearen Regression ist die Methode der kleinsten Quadrate. Sie bietet einen systematischen Ansatz, um die “beste” Linie oder Fläche durch eine Menge von Datenpunkten zu ziehen. “Beste” in diesem Kontext bedeutet, dass die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den beobachteten und den durch das Modell vorhergesagten Werten minimiert wird.

Die Methode der kleinsten Quadrate hat eine lange Geschichte und hat sich als robustes und zuverlässiges Werkzeug in vielen Anwendungen bewährt. In diesem Beitrag werden wir uns näher mit dieser Methode beschäftigen, ihre mathematischen Grundlagen erörtern und ihre Anwendung in der linearen Regression demonstrieren.

Grundlagen der linearen Regression

Stellen Sie sich vor, Sie haben Datenpunkte auf einem Blatt Papier und möchten eine gerade Linie zeichnen, die diese Punkte am besten repräsentiert. Das ist im Grunde das, was die lineare Regression tut. Sie versucht, eine Linie zu finden, die am besten zu den Daten passt und uns hilft, Vorhersagen zu treffen.

  • Definition und Formulierung des linearen Modells: Die lineare Regression arbeitet mit einer einfachen Formel, die so aussieht: y=mx+b. Hierbei ist:
    • y der Wert, den wir vorhersagen möchten.x der Wert, den wir kennen.m die Steigung der Linie.b der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet (auch als Y-Abschnitt bezeichnet).
    Wenn Sie die Werte für m und b kennen, können Sie Vorhersagen für jeden Wert von x treffen!
  • Bedeutung der Regressionskoeffizienten: Die Zahlen m und b in unserer Formel sind sehr wichtig. Sie bestimmen, wie unsere Vorhersagelinie aussieht. m sagt uns, wie steil die Linie ist, und b sagt uns, wo sie startet. Wenn wir diese Zahlen genau richtig bekommen, wird unsere Linie so nah wie möglich an allen Datenpunkten liegen.

Die Methode der kleinsten Quadrate

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, eine Linie durch eine Gruppe von Punkten auf einem Blatt Papier zu zeichnen. Es gibt viele Möglichkeiten, wie Sie diese Linie zeichnen könnten, aber Sie möchten diejenige finden, die am besten zu allen Punkten passt. Die Methode der kleinsten Quadrate hilft uns genau dabei!

  • Definition und Zielsetzung: Minimierung der quadrierten Abweichungen: Wenn wir eine Linie durch unsere Datenpunkte zeichnen, wird sie nicht perfekt zu jedem Punkt passen. Es wird kleine Abweichungen oder “Fehler” geben, wo die Linie nicht genau durch einen Punkt geht. Die Methode der kleinsten Quadrate versucht, diese Fehler so klein wie möglich zu machen. Und statt nur die Fehler zu betrachten, schaut sie auf die quadrierten Fehler (das bedeutet, jeden Fehler mit sich selbst zu multiplizieren). Das macht die Rechnung einfacher und sorgt dafür, dass sowohl positive als auch negative Fehler berücksichtigt werden.
  • Mathematische Herleitung der Methode: Ohne zu tief in die Mathematik einzutauchen: Die Methode der kleinsten Quadrate verwendet einige clevere Rechenwege, um die besten Werte für m und b (aus unserer vorherigen Formel) zu finden, sodass die quadrierten Fehler minimiert werden.
  • Vorteile und Limitationen der Methode: Die Methode der kleinsten Quadrate ist ziemlich genial, weil sie uns eine klare und systematische Art gibt, die “beste” Linie durch unsere Daten zu finden. Aber wie alles hat auch sie ihre Grenzen. Sie funktioniert am besten, wenn unsere Daten grob eine gerade Linie bilden. Wenn die Daten sehr verstreut sind oder eine komplizierte Form haben, könnte die Methode Schwierigkeiten haben oder nicht die besten Ergebnisse liefern.

Berechnung der Regressionskoeffizienten

Jetzt, wo wir wissen, dass unsere Linie durch die Formel y=mx+b beschrieben wird, stellt sich die Frage: Wie finden wir die besten Werte für m und b, sodass unsere Linie möglichst gut zu den Datenpunkten passt? Genau das macht die Methode der kleinsten Quadrate für uns!

  • Ableitung der Normalgleichungen: Um es einfach auszudrücken: Es gibt spezielle mathematische Formeln, die uns helfen, die besten Werte für m und b zu finden. Diese Formeln werden oft als “Normalgleichungen” bezeichnet. Sie nehmen all unsere Datenpunkte und rechnen daraus die optimalen Werte für m und b aus.
  • Lösung der Normalgleichungen für die Koeffizienten: Nachdem wir die Normalgleichungen haben, lösen wir sie, um die genauen Werte für m und b zu erhalten. Das ist so, als würde man ein kleines Rätsel lösen. Am Ende haben wir die Werte für m und b, die unsere Linie am besten zu den Daten anpassen.

Mit diesen Werten können wir dann unsere Vorhersagelinie zeichnen und sie verwenden, um Vorhersagen für neue Datenpunkte zu treffen!

Bewertung des Regressionsmodells

Nachdem wir unsere Linie durch die Datenpunkte gezogen haben, möchten wir natürlich wissen, wie gut diese Linie wirklich ist. Ist sie nah genug an den tatsächlichen Datenpunkten? Kann sie zuverlässige Vorhersagen treffen? Hier sind einige Werkzeuge und Konzepte, die uns dabei helfen:

  • Bestimmtheitsmaß (R^2): Stellen Sie sich das Bestimmtheitsmaß wie eine Schulnote für unsere Linie vor. Es ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (oder zwischen 0% und 100%), die uns sagt, wie gut unsere Linie zu den Daten passt. Ein Wert von 1 (oder 100%) würde bedeuten, dass unsere Linie perfekt ist. Ein niedrigerer Wert zeigt an, dass es Raum für Verbesserungen gibt.
  • Residuenanalyse und Annahmen der linearen Regression: Residuen sind die kleinen Abstände zwischen unserer Linie und den tatsächlichen Datenpunkten. Man kann sie sich wie kleine Fehler vorstellen. Wenn diese “Fehler” zufällig und ohne erkennbares Muster verteilt sind, dann macht unsere Linie wahrscheinlich einen guten Job. Wenn nicht, dann müssen wir vielleicht unser Modell überdenken.
  • Bedeutung und Interpretation der Koeffizienten: Erinnern Sie sich an die Zahlen m und b aus unserer Formel? Sie sind nicht nur wichtig, um die Linie zu zeichnen, sondern auch, um sie zu interpretieren. Die Zahl m gibt uns zum Beispiel an, wie stark sich y ändert, wenn x sich ändert. Das kann uns viel darüber sagen, wie zwei Dinge miteinander in Beziehung stehen.

Anwendungsbeispiele

Stellen Sie sich vor, Sie möchten wissen, wie viel Geld Sie in der Zukunft verdienen werden, basierend darauf, wie viele Jahre Sie studiert haben. Oder vielleicht möchten Sie vorhersagen, wie hoch ein Baum wachsen wird, basierend darauf, wie oft er gegossen wird. Das sind Beispiele für Fragen, die mit linearer Regression beantwortet werden können.

  • Praktische Durchführung einer linearen Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate: Nehmen wir das Beispiel mit dem Baum. Sie haben Daten darüber gesammelt, wie hoch Bäume gewachsen sind und wie oft sie gegossen wurden. Jetzt möchten Sie eine Vorhersage treffen:
    1. Zuerst zeichnen Sie alle Ihre Datenpunkte auf ein Diagramm. Jeder Punkt repräsentiert einen Baum, seine Höhe und wie oft er gegossen wurde.
    2. Dann versuchen Sie, eine gerade Linie durch diese Punkte zu ziehen, die sie am besten repräsentiert. Diese Linie wird Ihnen helfen, Vorhersagen zu treffen.
    3. Mit der Methode der kleinsten Quadrate finden Sie die “beste” Linie, die die geringste Gesamtabweichung von allen Punkten hat.
  • Interpretation der Ergebnisse: Sobald Sie Ihre Linie haben, können Sie sie verwenden, um Vorhersagen zu treffen. Wenn Sie wissen möchten, wie hoch ein Baum wachsen wird, wenn Sie ihn dreimal pro Woche gießen, schauen Sie einfach, wo diese “3 Mal pro Woche” auf Ihrer Linie liegt. Die Höhe der Linie an dieser Stelle gibt Ihnen Ihre Antwort!

Erweiterungen und Alternativen

Manchmal sind die Dinge im Leben nicht so einfach, und das gilt auch für Daten. Nicht immer können wir eine perfekte gerade Linie durch unsere Daten ziehen. Deshalb gibt es neben der einfachen linearen Regression noch andere Methoden, die uns helfen, komplexere Zusammenhänge zu verstehen.

  • Mehrfachregression und die Methode der kleinsten Quadrate: Stellen Sie sich vor, Sie möchten nicht nur wissen, wie das Wetter den Eisverkauf beeinflusst, sondern auch, wie der Preis oder die Tageszeit eine Rolle spielen. Das nennt man Mehrfachregression. Hier verwenden wir mehr als eine Eingangsvariable (z.B. Wetter, Preis, Tageszeit) und versuchen, ihre gemeinsame Wirkung auf eine Ausgangsvariable (z.B. Eisverkauf) zu verstehen. Es ist wie das Hinzufügen weiterer Zutaten zu einem Rezept, um das perfekte Gericht zu kreieren.
  • Alternativen zur Methode der kleinsten Quadrate: Die Methode der kleinsten Quadrate ist wie ein vertrauenswürdiges Werkzeug in unserer Werkzeugkiste. Aber manchmal brauchen wir etwas anderes. Es gibt andere Methoden, die in bestimmten Situationen besser funktionieren können, besonders wenn unsere Daten “laut” sind oder viele Ausreißer haben. Eine solche Methode ist die robuste Regression. Sie ist wie ein starker Freund, der uns hilft, wenn die Dinge ein bisschen chaotisch werden.